Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8 km的A，B兩點(diǎn)各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點(diǎn)的直線為軸，線段AB的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖）．考察范圍為到A，B兩點(diǎn)的距離之和不超過10 km的區(qū)域．

（1）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；

（2）如圖所示，設(shè)線段是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2 km，以后每年移動的距離為前一年的2倍．問：經(jīng)過多長時間，點(diǎn)A恰好在冰川邊界線上？

 

 

Answer 1

（1）；（2）5.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，由知，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)、長軸長為的橢圓上．由此可知考察區(qū)域邊界曲線的方程為．

（2）由題意知過點(diǎn)的直線方程為．因此點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)經(jīng)過年，點(diǎn)恰好在冰川邊界上，則利用等比數(shù)列求和公式可得，由此可知經(jīng)過年，點(diǎn)恰好在冰川邊界上．

試題解析：

（1）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由知，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓上，此時短半軸長.

所以考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為.

由題意知過點(diǎn)的直線方程為,因此點(diǎn)到直線的距離為，

設(shè)經(jīng)過年，點(diǎn)恰好在冰川邊界線上，則利用等比數(shù)列求和公式可得.

解得，

即經(jīng)過年，點(diǎn)恰好在冰川界線上．

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式．