在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A ( 
1
2
 ， 0 )，點(diǎn)B在直線l：x=-
1
2
上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B與l垂直的直線和AB的中垂線相交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是軌跡E上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R，N在y軸上，圓C：（x-1）2+y2=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以A ( 
1
2
 ， 0 )為焦點(diǎn)，
l：x=-
1
2
為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2=2x；
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線PR的方程為（y0-b）x-x0y+x0b=0．
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，
即
| y0-b+x0b |
( y0-b )2+x02
=1．
注意到x0＞2，化簡(jiǎn)上式，得（x0-2）b2+2y0b-x0=0，
同理可得（x0-2）c2+2y0c-x0=0．
由上可知，b，c為方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的兩根，
根據(jù)求根公式，可得b-c=
4
x20
+4
y20
-8x0
x0-2
=
2x0
x0-2
．
故△PRN的面積為
S=
1
2
( b-c )x0=
x20
x0-2
=( x0-2 )+
4
x0-2
+4≥2
( x0-2 )•
4
x0-2
+4=8，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x0=4時(shí)成立．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 4 ， 2
2
 )或( 4 ， -2
2
 )．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 4 ， 2
2
 )或( 4 ， -2
2
 )時(shí)，△PRN的面積取最小值8．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn)，若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則r=
 
．

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