Question

【題目】已知函數（），．

（1）求函數單調區(qū)間；

（2）當時，

①求函數在上的值域；

②求證：，其中，．（參考數據）

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ①；②見解析.

【解析】試題分析: （1）先求導數，再研究導函數符號：當時，恒為正；當時，有正有負，根據符號規(guī)律確定單調區(qū)間，（2）①易得函數在單調性：先減后增，故在極小值點處取最小值，最大值為兩端點值的較大值，②由所證不等式的結構知，先研究數列求和：令，可得，再比較對應項大�。�,這樣轉化為證明不等式,利用導數研究函數單調性，即可證得.

試題解析:（1）∵．

①當時，，在單調遞增；

②當時，令，得，即，

∴在上單調遞減，在單調遞增．

（2）時，．

①由，令，

∴在單調遞減，單調遞增，且由，，

∴值域為．

②由，設為前項和，，

則，

設，，

在單調遞減，，∴，

∴，即時，，

∴，故原不等式成立．