Question

設函數(shù)．
（Ⅰ）當a=1時，過原點的直線與函數(shù)f（x）的圖象相切于點P，求點P的坐標；
（Ⅱ）當時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當時，設函數(shù)，若對于?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)b的取值范圍．（e是自然對數(shù)的底，）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求出導函數(shù)，利用過原點的直線與函數(shù)f（x）的圖象相切于點P，可求點P的坐標；
（Ⅱ）求導函數(shù)，f'（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；f'（x）＞0，可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，由此可求b的取值范圍．
解答：解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），（2分）
（Ⅰ）設點P（x，y）（x＞0），當a=1時，f（x）=lnx-x-1，則y=lnx-x-1，，
∴（3分）
解得，故點P 的坐標為（e²，1-e²）（4分）
（Ⅱ）=
∵，∴（5分）
∴當0＜x＜1，或時，f'（x）＜0；當時，f'（x）＞0
故當時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；
單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（7分）
（Ⅲ）當時，
由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上為增函數(shù)，在（2，e]上為減函數(shù)，且，
∵，又，∴（e-1）²＜3，
∴f（e）＞f（1），故函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值為（9分）
若?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）                                         （10分）
又，x∈[0，1]
①當b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數(shù)，與（*）矛盾
②當0≤b≤1時，，由及0≤b≤1得，
③當b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，，
此時b＞1
綜上，b的取值范圍是（12分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是將?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，轉(zhuǎn)化為g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值