Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+1，給出命題
①f（x）有三個單調(diào)區(qū)間；
②f（0）=0是極大值，f（2）=-4是極小值；
③函數(shù)f（x）有三個零點；
④y=0是函數(shù)的一條切線．
其中正確的命題有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及極值的關系，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．

解答 解：∵f（x）=x³-3x²+1，
∴f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0，解得x=0，或x=2，
當f′（x）＞0時，即x＜0，或x＞2時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當f′（x）＜0時，即0＜x＜2時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞），f（x）的減區(qū)間是（0，2）；
當x=0時函數(shù)有極大值，即f（0）=1，當x=2時函數(shù)有極小值，即f（2）=-3，
故函數(shù)有3個零點，
故正確的命題有①③，
故選：B．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及極值的關系，屬于基礎題．