Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象過點P（0，2），且在點M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）根據導數的幾何意義，結合切線方程建立方程關系，求出b，c，d，即可求函數f（x）的解析式；
（2）求函數的導數，即可求函數f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最值．

解答： 解：（1）由f（x）的圖象經過P（0，2），知d=2，
所以f（x）=x³+bx²+cx+2，則f'（x）=3x²+2bx+c．
由在M（-1，f（-1））處的切線方程是6x-y+7=0，
知-6-f（-1）+7=0，
即f（-1）=1，f'（-1）=6
∴

3-2b+c=6 -1+b-c+2=1

，
即

2b-c=-3 b-c=0

，
解得b=c=-3，
故所求的解析式是f（x）=x³-3x²-3x+2．
（2）∵f（x）=x³-3x²-3x+2．
∴f′（x）=3x²-6x-3=3（x²-2x-1）．
由f′（x）=3（x²-2x-1）＞0，
解得x＞1+

2

或x＜1-

2

，此時函數單調遞增，
由f′（x）=3（x²-2x-1）＜0，
解得1-

2

＜x＜1+

2

，此時函數單調遞減，
則函數在x=1-

2

取得極大值，同時也是最大值，最大值4

2

-3，
當x=-3時，函數取得最小值，最小值-43．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，以及利用導數求函數的最值，考查導數的綜合應用．