Question

已知，點在曲線y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求證：數列為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列的前n項和為S_n，若對于任意的n∈N^*，存在正整數t，使得恒成立，求最小正整數t的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據，點在曲線y=f（x）上，可得，即-=4，故可得是以1為首項，4為公差的等差數列，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 對通項裂項，再進行求和，從而對于任意的n∈N^*使得恒成立，所以只要，由此可得結論．
解答：（Ⅰ）證明：∵，點在曲線y=f（x）上
∴
∴-=4
所以是以1為首項，4為公差的等差數列． 
∴=4n-3
∵a_n＞0，∴a_n=
（Ⅱ）解：．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-+-+…+）=＜
對于任意的n∈N^*使得恒成立，所以只要
∴或，所以存在最小的正整數t=2符合題意
點評：本題考查數列與函數的綜合，考查數列的通項公式，考查裂項法求數列的和，考查恒成立問題，選擇正確的方法是關鍵．