Question

家用冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層臭氧層．臭氧含量Q呈指數函數型變化，滿足關系式Q=Q0e-

t

400

，其中Q₀是臭氧的初始量．
（1）隨時間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？
（2）多少年以后將會有一半的臭氧消失？

Answer 1

分析：（1）本題中的函數關系是一個指數型函數模型，由于其指數為負數，初值為正數，由指數型函數的特征知其是一個減函數．
（2）知函數值變成了原來的一半求自變量，將函數值代入得到關于自變量的方程，解指數方程求年數，本方程在求解時因為未知數在指數上，故應采取兩邊取對數的方法將指數方程轉化為一次方程求x的值．

解答：解：（1）∵Q₀＞0，-

t

400

＜0，e＞1，∴Q=Q0e-

t

400

為減函數．（3分）
∴隨時間的增加，臭氧的含量是減少．（6分）
（2）設x年以后將會有一半的臭氧消失，則Q0e-

x

400

=

1

2

Q0，
即e-

x

400

=

1

2

，（8分）
兩邊取自然對數得，-

x

400

=ln

1

2

，（10分）
解得x=400ln2≈278．（11分）
∴278年以后將會有一半的臭氧消失．（12分）

點評：本題考查指數型函數，利用指數的相關性質來研究指數型函數的性質，以及解指數型方程，解此類方程時一般是用兩邊取對數的方法把指數方程轉化為一元一次方程或者是一元二次方程求值．