Question

已知橢圓的兩個焦點分別為，．點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點N的坐標為（3，2），點P的坐標為（m，n）（m≠3）．過點M任作直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)直線AN，NP，BN的斜率分別為k₁，k₂，k₃，若k₁+k₃=2k₂，試求m，n滿足的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，，b=1，求出a的值，即可得到橢圓C的方程；
（Ⅱ）①當直線l的斜率不存在時，將直線x=1與橢圓方程聯(lián)立，求得A，B的坐標，利用k₁+k₃=2k₂，可得m，n滿足的關(guān)系式；②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程代入整理化簡，利用韋達定理及k₁+k₃=2k₂，可得k₂的值從而可得m，n滿足的關(guān)系式．
解答：解：（Ⅰ）依題意，，b=1，所以．
故橢圓C的方程為．…（4分）
（Ⅱ）①當直線l的斜率不存在時，由解得．
不妨設(shè)，，
因為，又k₁+k₃=2k₂，所以k₂=1，
所以m，n的關(guān)系式為，即m-n-1=0．…（7分）
②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．
將y=k（x-1）代入整理化簡得，（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，．…（9分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）．
所以====．…（12分）
所以2k₂=2，所以，所以m，n的關(guān)系式為m-n-1=0．…（13分）
綜上所述，m，n的關(guān)系式為m-n-1=0．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率，利用k₁+k₃=2k₂，確定k₂的值是關(guān)鍵．