Question

如圖（1），三棱錐P′-A′BC′中，P′A′⊥平面A′BC′，△A′BC′是正三角形，E是P′C′的中點(diǎn)：如圖（2），三棱錐P-ACD中，PA⊥平面ACD，∠ACD=90°，∠DAC=30°，若△P′A′C′≌△PAC，現(xiàn)將兩個(gè)三棱錐拼接成四棱錐P-ABCD，使得面P′A′C′與面PAC完全重合，在四棱錐P-ABCD中，解答以下問題：

（I）求證：CD⊥AE；
（Ⅱ）當(dāng)PA=AC=

3

時(shí)，求棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）利用線面垂直的判定證明線面垂直，可得線線垂直；
（II）點(diǎn)E到平面ABCD的距離等于點(diǎn)P到平面ABCD的距離的一半，可得VE-ABCD=

1

2

VP-ABCD，從而可求棱錐E-ABCD的體積．

解答：（I）證明：如圖，由于P′A′⊥平面A′BC′，PA⊥平面ACD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
∵AC⊥CD，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，
∵E是PC的中點(diǎn)，∴CD⊥AE
（II）解：∵E是PC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E到平面ABCD的距離等于點(diǎn)P到平面ABCD的距離的一半
∴V_E-ABCD=

1

2

V_P-ABCD，
∴S_ABCD=

1

2

AB•BC•sin60°+

1

2

AC•CD=

5

4

3

∴VE-ABCD=

1

2

VP-ABCD=

1

2

×

1

3

×

5 3

4

×

3

=

5

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查四棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．