Question

已知函數(shù)f（x）=x²﹣1，g（x）=a|x﹣1|．
（1）若關(guān)于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需給出演算步驟）．

Answer 1

解答：解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²﹣1|=a|x﹣1|，
變形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，
從而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，
有且僅有一個(gè)等于1的解或無(wú)解，
結(jié)合圖形得a＜0．
（2）不等式f（x）≥g（x）對(duì)x∈R恒成立，即（x²﹣1）≥a|x﹣1|（*）對(duì)x∈R恒成立，
①當(dāng)x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)a∈R；
②當(dāng)x≠1時(shí)，（*）可變形為，令
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，φ（x）＞2，當(dāng)x＜1時(shí)，φ（x）＞﹣2，
所以φ（x）＞﹣2，故此時(shí)a≤﹣2．
綜合①②，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤﹣2．
（3）因?yàn)閔（x）=|f（x）|+g（x）=|x²﹣1|+a|x﹣1|=
 當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知h（x）在[﹣2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，
經(jīng)比較，此時(shí)h（x）在[﹣2，2]上的最大值為3a+3．
當(dāng)時(shí)，
結(jié)合圖形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，上遞減，
在，[1，2]上遞增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，
經(jīng)比較，知此時(shí)h（x）在[﹣2，2]上的最大值為3a+3．
當(dāng)時(shí)，
結(jié)合圖形可知h（x）在[﹣2，﹣1]14，15上遞減， 在，[1，2]上遞增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，
經(jīng)比較，知此時(shí)h（x）在[﹣2，2]上的最大值為a+3．
當(dāng)時(shí)，
結(jié)合圖形可知h（x）在，上遞減， 在，上遞增，
且h（﹣2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
經(jīng)比較，知此時(shí)h（x）在[﹣2，2]上的最大值為a+3．
當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知h（x）在[﹣2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
故此時(shí)h（x）在[﹣2，2]上的最大值為h（1）=0．
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，h（x）在[﹣2，2]上的最大值為3a+3；
當(dāng)﹣3≤a＜0時(shí)，h（x）在[﹣2，2]上的最大值為a+3；
當(dāng)a＜﹣3時(shí)，h（x）在[﹣2，2]上的最大值為0．