Question

 (14分)已知函數(shù)(常數(shù).

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

     (Ⅱ)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

解析：(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，

.                                   …………………………1分

.             

又，                         

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

即.                                     ……………………………3分

(Ⅱ)（1）下面先證明：．

設(shè)　，則

，

且僅當(dāng)，

所以，在上是增函數(shù)，故

．

所以，，即．　　　　　　　　　……………………………5分

（2）因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090531/20090531221140019.gif' width=115>，所以

           

 .          

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

又，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

所以，        　　　　　　…………………………9分

（3）下面討論函數(shù)的零點(diǎn)情況．

①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；　

②)當(dāng)，即時(shí)，，則

而，

∴在上有一個(gè)零點(diǎn)；  

③當(dāng)，即時(shí)， ,

由于，，

，

所以，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).　　　　……………………………………13分

綜上所述，在上，我們有結(jié)論：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).            ………………………………14分

解法二：(Ⅱ)依題意，可知函數(shù)的定義域?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090531/20090531221141048.gif' width=49>，

           

 .           ………………………………………5分

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

         ………………………………………6分

設(shè)（，常數(shù).

∴當(dāng)時(shí)，

且僅當(dāng)時(shí)，

在上是增函數(shù).

∴當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，

取，得由此得.        ………………………………9分

取得由此得

. 　     …………………………10分

(1)當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；　  ………………………11分

(2)當(dāng)，即時(shí)，，則

而，

∴函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；                         ………………………………12分

(3)當(dāng)，即時(shí)， .

而，

∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).                    ………………………………………13分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).                             ………………14分