Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)=

1- 1 x ，x＞0 (a-1)x+1，x≤0

（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)漢函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義直接解方程f（x）=0即可得到函數(shù)的零點(diǎn)．

解答：解：（1）在（0，+∞）上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且

x

1

＜x2，
則f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1

)-(1-

1

x2

)=

1

x2

-

1

x   1

=

x1-x2

x1x2

． 
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0．
∴

x1-x2

x1x2

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增． 
（2）（ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=0，
即1-

1

x

=0，
解得x=1＞0．
∴x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．       
（ⅱ）當(dāng)x≤0時(shí)，令f（x）=0，即（a-1）x+1=0．（※）
①當(dāng)a＞1時(shí)，由（※）得x=

1

1-a

＜0，
∴x=

1

1-a

是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)；     
②當(dāng)a=1時(shí)，方程（※）無解；
③當(dāng)a＜1時(shí)，由（※）得x=

1

1-a

＞0，（不合題意，舍去）  
綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是1和

1

1-a

；
當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算，根據(jù)定義是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．