Question

在一個(gè)圓周上給定十二個(gè)紅點(diǎn)；求的最小值，使得存在以紅點(diǎn)為頂點(diǎn)的個(gè)三角形，滿足：以紅點(diǎn)為端點(diǎn)的每條弦，都是其中某個(gè)三角形的一條邊．

Answer 1

解：設(shè)紅點(diǎn)集為：，過點(diǎn)的弦有條，而任一個(gè)含頂點(diǎn)的三角形，恰含兩條過點(diǎn)的弦，故這條過點(diǎn)的弦，至少要分布于個(gè)含頂點(diǎn)的三角形中；

同理知，過點(diǎn)的弦，也各要分布于個(gè)含頂點(diǎn)的三角形中，這樣就需要個(gè)三角形，而每個(gè)三角形有三個(gè)頂點(diǎn)，故都被重復(fù)計(jì)算了三次，因此至少需要個(gè)三角形．
再說明，下界可以被取到．不失一般性，考慮周長為的圓周，其十二等分點(diǎn)為紅點(diǎn)，以紅點(diǎn)為端點(diǎn)的弦共有條．若某弦所對的劣弧長為，就稱該弦的刻度為；于是紅端點(diǎn)的弦只有種刻度，其中，刻度為的弦各條，刻度為的弦共條；如果刻度為（）的弦構(gòu)成三角形的三條邊，則必滿足以下兩條件之一：或者；或者；
于是紅點(diǎn)三角形邊長的刻度組只有如下種可能：
；
下面是刻度組的一種搭配：取型各六個(gè)，型四個(gè)；這時(shí)恰好得到條弦，且其中含刻度為的弦各條，刻度為的弦共條；
今構(gòu)造如下：先作型的三角形各六個(gè)，型的三角形
三個(gè)，再用三個(gè)型的三角形來補(bǔ)充．
型六個(gè)：其頂點(diǎn)標(biāo)號為：；
型六個(gè)：其頂點(diǎn)標(biāo)號為：；
型六個(gè)：其頂點(diǎn)標(biāo)號為：；
型三個(gè)：其頂點(diǎn)標(biāo)號為：；
型三個(gè)：其頂點(diǎn)標(biāo)號為：．
（每種情況下的其余三角形都可由其中一個(gè)三角形繞圓心適當(dāng)旋轉(zhuǎn)而得）．
這樣共得到個(gè)三角形，且滿足本題條件，因此，的最小值為．