Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax-sinx在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上有且僅有一個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． a≥1
• B． a≥1或a≤$\frac{2}{π}$
• C． a＞1或a≤0
• D． a$＜\frac{2}{π}$

Answer 1

分析 若y=f（x）僅有一個零點，則函數(shù)y=sinx的圖象與y=ax的圖象有且僅有一個交點，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：令y=sinx，
則y′=cosx，
當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）時，y′＞0，y=sinx為增函數(shù)，
故y=sinx的圖象如下圖所示：
當(dāng)x=-$\frac{π}{2}$時，y=-1，當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時，y=1，
此時a=$\frac{2}{π}$，
當(dāng)x=0時，y′=1，
若y=f（x）僅有一個零點，
則函數(shù)y=sinx的圖象與y=ax的圖象有且僅有一個交點，

由圖可得：a≥1或a≤$\frac{2}{π}$，
故選：B．

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點與函數(shù)圖象交點的關(guān)系，難度中檔．