Question

已知i，m，n是正整數(shù)，且1< i ≤ m < n．

（1）證明 ；

（2）證明 (1+ m )ⁿ > (1 + n )^m．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析   ，是兩個排列數(shù)，各是i個連續(xù)正整數(shù)的積．第（1）問應采用商值比較法． 第（2）問所需證明的不等式兩邊都是二項式，應從其展開式的項數(shù)及對應項的大小入手進行證明． 證明：（1）∵ i，m，n是正整數(shù)，且1< i ≤ m < n． ∴ ， 　　　　　　　　　　　　　　 ① ∵ m < n， ∴ 對整數(shù) k = 1，2，…，i－1， n (m－k)－m ( n－k ) = k ( m－n ) < 0 即　　   0 < n (m－k) < m ( n－k )． ∴ ． 代入①式，可得 ，故 ． （2）∵ m < n， ∴ 由二項式定理得 ． ∵ ， ∴ 由 可得 由此可得   故 (1+ m )n > (1 + n )m． 評述  這是一道與排列、組合、二項式定理相綜合的兩個不等式的證明問題，分別采用了求商比較法和求差比較法．把握住商式和差式的結構特征，并進行合理的變形是證明不等式的關鍵．