Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為棱BB₁的中點(diǎn)．
（1）求平面A₁DM與平面ABCD所成的銳二面角的大��；
（2）求點(diǎn)B到平面A₁DM的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長A₁M，與AB的延長線交于點(diǎn)O，連接OD，過B作BE⊥DO，垂足為E，連接ME，則ME⊥DO，可得∠MEB為平面A₁DM與平面ABCD所成的銳二面角的平面角；
（2）過點(diǎn)B做BF⊥ME，證明BF⊥平面A₁DM，從而BF為點(diǎn)B到平面A₁DM的距離，利用等面積，即可求BF⊥平面A₁DM
∴BF為點(diǎn)B到平面A₁DM的距離，
解答：解：（1）延長A₁M，與AB的延長線交于點(diǎn)O，連接OD，過B作BE⊥DO，垂足為E，連接ME，則ME⊥DO
∴∠MEB為平面A₁DM與平面ABCD所成的銳二面角的平面角
∵M(jìn)為棱BB₁的中點(diǎn)，棱長為2，
∴MB=1
∵DO•BE=AD•BO
∴
∴tan∠MEB==
∴所求二面角的大小為arctan；
（2）過點(diǎn)B做BF⊥ME，
由（1）知DO⊥平面MBE
∵DO?平面A₁DM
∴平面A₁DM⊥平面MBE
∵BF⊥ME，平面A₁DM∩平面MBE=ME
∴BF⊥平面A₁DM
∴BF為點(diǎn)B到平面A₁DM的距離，
∵，MB=1
∴ME=
∵M(jìn)E•BF=MB•BE
∴BF===．
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面角，考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．