Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁＋＝n²＋2n（其中常數(shù)λ＞0，n∈N*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當(dāng)λ＝4時，是否存在互不相同的正整數(shù)r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列？若存在，給出r，s，t滿足的條件；若不存在，說明理由；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若對任意n∈N*，都有（1－λ）S_n＋λa_n≥2λⁿ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當(dāng)n＝1時，a₁＝3；
當(dāng)n≥2時，由a₁＋＝n²＋2n，              ①
得＝（n-1）²＋2（n-1），    ②
①-②得：＝2n＋1，
所以a_n＝（2n＋1）·λ^n-1，（n≥2），
因為a₁＝3，所以a_n＝（2n＋1）·λ^n-1（n∈N*）。
（2）當(dāng)λ＝4時，a_n＝（2n＋1）·4^n-1，
若存在a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，
則[（2r＋1）4^r-1] [（2t＋1）·4^t-1]＝（2s＋1）²·4^2s-2，
整理得（2r＋1）（2t＋1） 4^{r＋t -2s}＝（2s＋1）²，
由奇偶性知r＋t -2s＝0，
所以（2r＋1）（2t＋1）＝（r＋t＋1）²，
即（r-t）²＝0，
這與r≠t矛盾，
故不存在這樣的正整數(shù)r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列。
（3）S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋（2n＋1）λ^n-1，
當(dāng)λ＝1時，S_n＝3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝n²＋2n；
當(dāng)λ≠1時，S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋（2n＋1）λ^n-1，
λS_n＝，

，
要對任意n∈N*，都有（1-λ）S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，
①當(dāng)λ=1時，左=（1-λ）S_n+λa_n=a_n=2n+1≥2，結(jié)論顯然成立；
②當(dāng)λ≠1時，
左=（1-λ）S_n+λa_n=
，
因此，對任意n∈N*，都有恒成立，
當(dāng)0＜λ＜1時，只要對任意n∈N*恒成立，
只要有，
因此，當(dāng)0＜λ＜1時，結(jié)論成立；
當(dāng)λ≥2時，顯然不可能對任意n∈N*恒成立；
當(dāng)1＜λ＜2時，只要對任意n∈N*恒成立，
只要有即可，解得1≤λ≤；
因此當(dāng)1＜λ≤時，結(jié)論成立；
綜上可得，實數(shù)λ的取值范圍為（0，]。