Question

點(diǎn)P在平面ABC外，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，△PAB是正三角形，PA⊥BC．

(1)求證：平面PAB⊥平面ABC；

(2)求二面角P—AC—B的大小．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵BC⊥BA，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB，又BC平面ABC， ∴平面PAB⊥平面ABC． (2)解：取D為AB的中點(diǎn)， ∵△PAB為正三角形，∴PD⊥AB．作DE⊥AC于E，連結(jié)PE．由(1)知平面 PAB⊥平面ABC，又PD⊥AB， ∴PD⊥平面ABC． ∵DE⊥AC于E，∴AC⊥PE． ∴∠PED為二面角P—AC—B的平面角． 設(shè)AB=a，則PD=a,AD=． 在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴DE=a． 在Rt△PDE中，tanPED===, ∴∠PED=arctan， 即二面角P—Ac—B的大小為arctan． 點(diǎn)評：(1)證平面PAB⊥平面ABC，主要是證BC⊥平面PAB．(2)求二面角P—AC—B的大小是先證PD⊥平面ABC，然后利用平面ABC的垂線作出了二面角的平面角∠PED．