Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)。

（1）求O點(diǎn)到面ABC的距離；
（2）求異面直線BE與AC所成的角；
（3）求二面角E-AB-C的大小。

Answer 1

解：（1）取BC的中點(diǎn)D，連AD、OD 因?yàn)镺B=OC， 則OD⊥BC、AD⊥BC， ∴BC⊥面OAD 過O點(diǎn)作OH⊥AD于H，則OH⊥面ABC， OH的長(zhǎng)就是所求的距離 又BC=2，OD==， 又OA⊥OB，OA⊥OC  ∴OA⊥面OBC，則OA⊥OD AD==，在 直角三角形OAD中，有OH=。 （2）取OA的中點(diǎn)M，連EM、BM，則EM//AC， ∠BEM是異面直線BE與AC所成的角， 易求得EM=，BE=，BM= 由余弦定理可求得cos∠BEM=， ∴∠BEM=arccos。 （3）連CM并延長(zhǎng)交AB于F，連OF、EF 由OC⊥面OAB，得OC⊥AB， 又OH⊥面ABC， 所以CF⊥AB，EF⊥AB， 則∠EFC就是所求的二面角的平面角 作EG⊥CF于G，則EG=OH=， 在Rt△OAB中，OF= 在Rt△OEF中，EF=  ∴sin∠EFG= ∠EFG=arcsin。