Question

有如下命題：
①若0＜a＜1，對任意x＜0，則a^x＞1；
②若函數y=log_a（x-1）+1的圖象過定點P（m，n），則log_mn=0；
③函數y=x^-1的單調遞減區(qū)間為（-∞，0）∪（0，+∞），
④函數y=2^x與y=log₂x互為反函數，
其中正確命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據指數函數的單調性判斷出①正確；根據對數函數的真數為1，不論底數為多少對數總為0，判斷出②正確；結合函數y=x^-1的圖象判斷出③不正確；據反函數的定義，判斷出④正確；

解答：解：對于①，由指數函數的單調性知，當0＜a＜1，對?x＜0，有a^x＞1，故①正確；
對于②，函數y=log_a（x-1）+1的圖象恒過（2，1），所以m=2，n=1，所以log_mn=0，故②正確；
對于③，函數y=x^-1的單調遞減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞），故③不正確；
對于④，因為函數y=2^x與y=log₂x互為反函數，故④正確；
所以真命題的個數為3個；
故選C．

點評：本題考查指數函數的單調性；對數函數的圖象恒過點（1，0）；考查反函數的定義，屬于基礎題．