Question

在長方形AA₁B₁B中，AB=2AA₁=4，C，C₁分別是AB，A₁B₁的中點（如圖1）．將此長方形沿CC₁對折，使二面角A₁-CC₁-B為直二面角，D，E分別是A₁B₁，CC₁的中點（如圖2）．
（Ⅰ）求證：C₁D∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求證：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅲ）求直線BC₁與平面A₁BE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)C，C₁分別是AB，A₁B₁的中點，則CC₁⊥BC，CC₁⊥AC，∠ACB是二面角A₁-CC₁-B的平面角，從而BC⊥AC，所以CA，CB，CC₁兩兩垂直，以點C為原點，分別以CA，CB，CC₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面A₁BE的法向量為n和向量，根據(jù)向量與平面A₁BE的法向量垂直可知C₁D∥平面A₁BE．
（Ⅱ）先求出平面AA₁B₁B的法向量為m，根據(jù)平面A₁BE的法向量為n與法向量為m垂直，從而證得平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．
（Ⅲ）先求出向量，設(shè)直線BC₁與平面A₁BE所成角為θ，則，從而求出所求．
解答：（Ⅰ）證明：由已知，將長方形AA₁B₁B沿CC₁對折后，二面角A₁-CC₁-B為直二面角，因為在長方形AA₁B₁B中，C，C₁分別是AB，A₁B₁的中點，所以CC₁⊥BC，CC₁⊥AC．即∠ACB是二面角A₁-CC₁-B的平面角．
所以∠ACB=90°．所以BC⊥AC．
所以CA，CB，CC₁兩兩垂直．
以點C為原點，分別以CA，CB，CC₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．…（1分）
因為AB=2AA₁=4，且D，E分別是A₁B₁，CC₁的中點，
所以C₁（0，0，2），D（1，1，2），A₁（2，0，2），B（0，2，0），E（0，0，1）．…（2分）
所以，．
設(shè)平面A₁BE的法向量為n=（x，y，z），
所以所以
令y=1，則z=2，x=-1．
所以n=（-1，1，2）．…（3分）
又因為．
所以．
又因為C₁D?平面A₁BE，
所以C₁D∥平面A₁BE．…（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知A（2，0，0），A₁（2，0，2），B（0，2，0），，．
設(shè)平面AA₁B₁B的法向量為m=（x，y，z），
所以所以
令y=1，則x=1，z=0，所以m=（1，1，0）．…（6分）
由（Ⅰ）知，平面A₁BE的法向量為n=（-1，1，2）．
所以m•n=（1，1，0）•（-1，1，2）=0．
所以m⊥n．所以平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，B（0，2，0），C₁（0，0，2）．所以．
又由（Ⅰ）知，平面A₁BE的法向量為n=（-1，1，2）．…（10分）
設(shè)直線BC₁與平面A₁BE所成角為θ，則．
所以直線BC₁與平面A₁BE所成角的正弦值為．…（13分）
點評：本題主要考查了利用空間向量證明線面平行，面面垂直和線面所成角的度量，同時考查了推理論證的能力和計算能力，屬于中檔題．