Question

已知矩陣，向量=．
（1）求矩陣M的特征向量；
（2）計(jì)算M⁵⁰．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
（2）利用特征向量的性質(zhì)計(jì)算，先利用特征向量表示向量β，后將求A⁵⁰β的值的問題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計(jì)算問題．
解答：解：（1）矩陣M的特征多項(xiàng)式為，…（3分）
所以λ₁=0，λ₂=4，設(shè)對應(yīng)的特征向量為α₁=，α₂=．
由Mα₁=λ₁α₁，Mα₂=λ₂α₂，可得2x₁+y₁=0，2x₂-y₂=0，
所以矩陣M的一個(gè)特征向量為α₁=，α₂=．…（7分）
（2）令β=mα₁+nα₂，則，解得，，…（9分）
所以M⁵⁰β=M⁵⁰
=
=
=．      …（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了特征值與特征向量的計(jì)算以及利用特征向量求向量乘方的問題，屬于矩陣中的中檔題．