Question

18．已知等差數列{a_n}滿足：a₃=7，前3項和S₃=15．
（Ⅰ） 求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（Ⅱ） 求數列{2${\;}^{{a}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由等差數列的性質可知：3a₂=15，求得a₂=5，由d=a₃-a₂=2，再利用等差數列通項公式的性質，即可求得數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（Ⅱ）由${2}^{{a}_{n}}$=2²ⁿ⁺¹，可知數列{${2}^{{a}_{n}}$}是以2³，為首項，以4為公比的等比數列，T_n=2³+2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹，根據等比數列前n項和公式，即可求得數列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n項和T_n，．

解答 解：（Ⅰ）∵設等差數列的公差為d，
由等差數列的性質可知：S₃=3a₂，則3a₂=15，即a₂=5，
由d=a₃-a₂=2，
∴由等差數列的通項公式可得：a_n=a₃+2（n-3）=2n+1，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n+1，…（3分）
a₁=3，
∴前n項和S_n，S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=n²+2n，
數列{a_n}的前n項和S_n，S_n=n²+2n；                       …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：${2}^{{a}_{n}}$=2²ⁿ⁺¹，可知數列{${2}^{{a}_{n}}$}是以2³，為首項，以4為公比的等比數列，
數列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n項和T_n，T_n=2³+2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹，
=$\frac{{2}^{3}-{2}^{2n+1}•{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$=$\frac{{2}^{2n+3}-8}{3}$=$\frac{8（{4}^{n}-1）}{3}$，
數列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n項和T_n，T_n=$\frac{8（{4}^{n}-1）}{3}$． …（10分）

點評 本題考查等差數列的性質，通項公式及前n項和公式的應用，考查等比數列前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．