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已知函數,的最大值為3,f(x)的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為2,在y軸上的截距為2.
(I)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的單調遞增區(qū)間.
【答案】分析:(Ⅰ)先利用二倍角公式對函數解析式化簡,進而根據函數的最大值求得A,根據兩對稱軸間的距離求得函數的最小正周期,進而求得ω,把x=0代入解析式結果為2進而求得φ,則函數的解析式可得.
(Ⅱ)先利用正弦函數的單調性可知當2kπ+x<2kπ+時f(x)單調遞增,進而求得x的范圍,求得函數的單調性遞增區(qū)間.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=cos(2ωx+2φ)+1+
依題意+1+=3,∴A=2
,得T=4∴ω=
∴f(x)=cos(x+2φ)+2
令x=0,得cos2φ+2=2,又0<φ∴2φ=
所以函數f(x)的解析式為
f(x)=2-sinx
還有其它的正確形式,如:
f(x)=2cos2(x+)+1,f(x)=cos(x+)+2
(Ⅱ)當2kπ+x<2kπ+,
k∈Z時f(x)單調遞增
即4k+1<x<4k+3,k∈Z
∴f(x)的增區(qū)間是(4k+1,4k+3),k∈Z.
點評:本題主要考查了利用y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定函數的解析式.應熟練掌握如振幅,權相,周期等問題.
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