Question

（2010•馬鞍山模擬）已知數(shù)列{a_n}的前三項與數(shù)列{b_n}的前三項對應相同，且對任意的n∈N^*，都有：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n+1-b_n}是等差數(shù)列，求{b_n}的通項公式；
（3）問是否存在k（k＞3，k∈N），使得

1

2k

(

bk

ak

-1)＜

1

16

．若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，a₁=8，當n≥2時a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n與原等式作差得2^n-1a_n=8即a_n=2^4-n，驗證首項，可得通項公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前三項與數(shù)列{b_n}的前三項對應相同，求出{b_n}的前三項，得到{b_n+1-b_n}是以-4為首項，2為公差的等差數(shù)列，然后利用累加法可得{b_n}的通項公式；
（3）假設存在k（k＞3，k∈N），使得

1

2k

(

bk

ak

-1)＜

1

16

，從而b_k-a_k＜1，而當k≥4時，f(k)=bk-ak=k2-7k+14-24-k=(k-

7

2

)2+

7

4

-24-k為單調(diào)遞增函數(shù)，則f（k）≥f（4）=1這與b_k-a_k＜1矛盾，故適合題意的自然數(shù)k不存在．

解答：解：（1）當n=1，a₁=8
當n≥2時a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n①
a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=8（n-1）②
①-②⇒2^n-1a_n=8⇒a_n=2^4-n（對n=1也成立）
故a_n=2^4-n…（4分）
（2）依題b₁=8，b₂=4，b₃=2．
∴{b_n+1-b_n}是以-4為首項，2為公差的等差數(shù)列．
∴b_n+1-b_n=2n-6
由累加法可得b_n=n²-7n+14…（8分）
（3）假設存在k（k＞3，k∈N），使得

1

2k

(

bk

ak

-1)＜

1

16

即

16

2k

(

bk

ak

-1)＜1⇒

16

2k

(

bk-ak

ak

)＜1⇒24-k

bk-ak

24-k

＜1，即b_k-a_k＜1…（10分）
而當k≥4時，f(k)=bk-ak=k2-7k+14-24-k=(k-

7

2

)2+

7

4

-24-k為單調(diào)遞增函數(shù)，…（12分）
∴f（k）≥f（4）=1這與b_k-a_k＜1矛盾．故適合題意的自然數(shù)k不存在．…（14分）

點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及遞推關系和累積法的運用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．