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若函數f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函數，且當x=-
3
3
時，f（x）取得極小值-
2
3
9
．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g(x)=
f(x)
x2
，若不等式g(x)＞-
k
2
-1在（0，2k）上恒成立，求實數k的取值范圍．
分析：（1）根據函數是奇函數，得出b，d的值，再求出函數的導數，根據在x=-
3
3
處的有極值得出在x=1處的導數為0，求出a，c的值；
（2）問題等價于g(x)min＞-
k
2
-1，利用導數可求，進而轉化為解不等式．
解答：解：（1）由題意b=d=0，f′（x）=3ax2+c，又當x=-
3
3
時，f（x）取得極小值-
2
3
9
，
∴
a+c=0
-
3
9
a-
3
3
c=-
2
3
9
，∴a=-1，c=1，∴f（x）=x-x3；
（2）g(x)=
1
x2
-x，從而函數在（0，2k）為單調減函數，所以
1
4k2
-2k＞-
k
2
-1，∴k∈（0，1]
點評：該題考查函數的求導，考查函數的奇偶性對應的函數求項的系數，利用單調性求函數的最值，從而解決恒成立問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

①命題“對任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2+1＞0”；
②函數f（x）=2x-x2的零點有2個；
③若函數f（x）=x2-|x+a|為偶函數，則實數a=0；
④函數y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=
∫
x
-x
sinxdx；
⑤若函數f（x）=
ax-5(x＞6)
(4-
a
2
)x+4(x≤6)
，在R上是單調遞增函數，則實數a的取值范圍為（1，8）．
其中真命題的序號是
①③
①③
（寫出所有正確命題的編號）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），其定義域為D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數．
（1）設f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數，并說明原因；
（2）若函數f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數，試求出實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）=ax（a＞0，a≠1）的反函數記為y=g（x），g（16）=2，則f(
12
)=
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）=ax-2+2010（a＞0且a≠1）恒過一定點，此定點坐標為
（2，2011）
（2，2011）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）若函數f（x）=ax+b的零點為x=2，則函數g（x）=bx2-ax的零點是x=0和x=
-
1
2
-
1
2
．

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