在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n
(1)設(shè)bn=
an
2n-1
(n∈N*),證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求
lim
n→∞
Sn
n•2n+1
的值;
(3)設(shè)cn=2bn-1,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,dn=
Tn
4
a
2
n
-Tn
,是否存在實(shí)數(shù)t,使得對(duì)任意的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)m∈[1,2],都有d1+d2+d3+…+dn≥log8(2m+t)成立?請(qǐng)說明理由.
分析:本題考查“構(gòu)造數(shù)列法”、等差數(shù)列的證明、數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,極限的求法,存在性問題的探究等.
(1)屬于常規(guī)性題目,所給bn=
an
2n-1
(n∈N*)提供了一種構(gòu)造數(shù)列的方法,實(shí)為解題的一種提示和鋪墊;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上不難求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,進(jìn)而由bn=
an
2n-1
可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和為Sn,然后可得
lim
n→∞
Sn
n•2n+1
的值;
(3)由cn=2bn-1構(gòu)造新數(shù)列{cn},不難求得前n項(xiàng)和為Tn=n2,于是dn可求,按照存在性問題的研究即可得到滿足條件的實(shí)數(shù)t不存在.
解答:解:(1)an+1=2an+2n,
an+1
2n
=
an
2n-1
+1
,(2分)
bn+1=bn+1,故{bn}為等差數(shù)列,b1=1,bn=n.(4分)
(2)由(1)可得an=n2n-1(6分)
Sn=1•20+2•21+3•22+n•2n-1
2Sn=1•21+2•22+3•23+(n-1)•2n-1+n•2n
兩式相減,得-Sn=20+21+22+2n-1-n•2n=2n-1-n•2n,即Sn=(n-1)2n+1(8分)
lim
n→∞
Sn
n•2n+1
=
lim
n→∞
(n-1)2n+1
n•2n+1
=
1
2
(10分)
(3)由(1)可得Tn=n2,(12分)
dn=
Tn
4
a
2
n
-Tn
=
1
4n-1
,(d1+d2+d3++dn+dn+1)-(d1+d2+d3++dn)=dn+1=
1
4n+1-1
>0

∴{d1+d2+d3++dn}單調(diào)遞增,即d1+d2+d3++dnd1=
1
3
,(14分)
要使d1+d2+d3++dn≥log8(2m+t)對(duì)任意正整數(shù)n成立,
必須且只需
1
3
≥log8(2m+t)
,即0<2m+t≤2對(duì)任意m∈[1,2]恒成立.(16分)
∴[2+t,4+t]⊆(0,2],即
2+t>0
4+t≤2
?-2<t≤-2
矛盾.
∴滿足條件的實(shí)數(shù)t不存在.
點(diǎn)評(píng):本題求解過程繁雜,環(huán)節(jié)多,環(huán)環(huán)相扣,不易解答,稍有疏忽,前功盡棄,在解答諸如此類的題目時(shí),首先要有過硬的運(yùn)算能力,更要有良好的心理素質(zhì),能靜心思考、精心解答,切勿心浮氣躁;
第(3)步是難度較大的問題,綜合性強(qiáng),注意“(d1+d2+d3++dn+dn+1)-(d1+d2+d3++dn)=dn+1=
1
4n+1-1
>0

∴{d1+d2+d3++dn}單調(diào)遞增”的研究方式,轉(zhuǎn)化為恒成立問題后,要準(zhǔn)確的確定恒成立的條件,即
2+t>0
4+t≤2
?-2<t≤-2
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,
a
 
1
=1
,an=
1
2
an-1+1
(n≥2),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
2-21-n
2-21-n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a 1=
1
3
,并且對(duì)任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:
1
3
Tn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a=
12
,前n項(xiàng)和Sn=n2an,求an+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個(gè)結(jié)論,然后再解答)

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在數(shù)列{an}中,a,并且對(duì)任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:

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