Question

設(shè)函數(shù)

(1)設(shè),,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn);

(2) 設(shè),若對任意,有,求的取值范圍;

(3)在(1)的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點(diǎn),判斷數(shù)列的增減性.

 

Answer 1

【答案】

(1) 見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

試題分析：(1) 先根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷在在內(nèi)存在零點(diǎn)，在利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，從而說明在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（2）此問可用兩種解法:第一種，當(dāng)時,，根據(jù)題意判斷出在上最大值與最小值之差，據(jù)此分類討論如下:(ⅰ)當(dāng)；(ⅱ)當(dāng)；(ⅲ)當(dāng),綜上可知, ；第二種，用表示中的較大者，直接代入計算即可；（3）先設(shè)出零點(diǎn)，然后根據(jù)在上是遞增的得出結(jié)論.

試題解析：(1),時, 

∵,∴在內(nèi)存在零點(diǎn). 又當(dāng)時, ,∴ 在上是單調(diào)遞增的,所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).

(2)當(dāng)時, ，對任意都有等價于在上最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下:(ⅰ)當(dāng),即時, ,與題設(shè)矛盾

(ⅱ)當(dāng),即時, 恒成立

(ⅲ)當(dāng),即時, 恒成立.

綜上可知,  

注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并證明如下:

用表示中的較大者.當(dāng),即時,

  

 恒成立 .

(3)證法一  設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn) 

,, 

于是有 

又由(1)知在上是遞增的,故, 所以,數(shù)列是遞增數(shù)列.

證法二  設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)

 則的零點(diǎn)在內(nèi),故,

所以,數(shù)列是遞增數(shù)列.

考點(diǎn)：1.零點(diǎn)存在性定理；2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；3.利用函數(shù)單調(diào)性判斷大小.