設(shè)函數(shù)

(1)設(shè),,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn);

(2) 設(shè),若對(duì)任意,有,求的取值范圍;

(3)在(1)的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點(diǎn),判斷數(shù)列的增減性.

 

【答案】

(1) 見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

試題分析：(1) 先根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷在在內(nèi)存在零點(diǎn)，在利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，從而說明在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（2）此問可用兩種解法:第一種，當(dāng)時(shí),，根據(jù)題意判斷出在上最大值與最小值之差，據(jù)此分類討論如下:(ⅰ)當(dāng)；(ⅱ)當(dāng)；(ⅲ)當(dāng),綜上可知, ；第二種，用表示中的較大者，直接代入計(jì)算即可；（3）先設(shè)出零點(diǎn)，然后根據(jù)在上是遞增的得出結(jié)論.

試題解析：(1),時(shí), 

∵,∴在內(nèi)存在零點(diǎn). 又當(dāng)時(shí), ,∴ 在上是單調(diào)遞增的,所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).

(2)當(dāng)時(shí), ，對(duì)任意都有等價(jià)于在上最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下:(ⅰ)當(dāng),即時(shí), ,與題設(shè)矛盾

(ⅱ)當(dāng),即時(shí), 恒成立

(ⅲ)當(dāng),即時(shí), 恒成立.

綜上可知,  

注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并證明如下:

用表示中的較大者.當(dāng),即時(shí),

  

 恒成立 .

(3)證法一  設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn) 

,, 

于是有 

又由(1)知在上是遞增的,故, 所以,數(shù)列是遞增數(shù)列.

證法二  設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)

 則的零點(diǎn)在內(nèi),故,

所以,數(shù)列是遞增數(shù)列.

考點(diǎn)：1.零點(diǎn)存在性定理；2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；3.利用函數(shù)單調(diào)性判斷大小.

 

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已知二次函數(shù)f（x）=x2-2（10-3n）x+9n2-61n+100，其中n?N*．
（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（an，f（an）），求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象的頂點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和；
（3）在（1）的條件下，若數(shù)列{cn}滿足cn=1+
1
4n-
25
2
+an
（n?N*），求數(shù)列{cn}中值最大的項(xiàng)和值最小的項(xiàng)．

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已知函數(shù)f′（x），g′（x）分別是二次函數(shù)f（x）和三次函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系下的圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），則（　　）

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設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f（g（t））的值域仍然是B，那么稱函數(shù)x=g（t）是函數(shù)f（x）的一個(gè)等值域變換．
（1）判斷下列函數(shù)x=g（t）是不是函數(shù)f（x）的一個(gè)等值域變換？說明你的理由．
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t2-2t+3，t∈R；
②f（x）=x2-x+1，x∈R，x=g（t）=2t，t∈R；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=log2(x2-x+1)，g（t）=at2+2t+1，若函數(shù)x=g（t）是函數(shù)f（x）的一個(gè)等值域變換，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為F函數(shù)．現(xiàn)給出下列函數(shù)①f（x）=x2，②f（x）=
x2
x2-x+1
③f（x）=x（1-2x），④f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對(duì)一切x1x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．其中是F函數(shù)的序號(hào)為（　�。�

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（2013•普陀區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）和x都是定義在集合
2
上的函數(shù)，對(duì)于任意的
2
x，都有x成立，稱函數(shù)x與y在l上互為“l(fā)函數(shù)”．
（1）函數(shù)f（x）=2x與g（x）=sinx在M上互為“H函數(shù)”，求集合M；
（2）若函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）與g（x）=x+1在集合M上互為“x函數(shù)”，求證：a＞1；
（3）函數(shù)m與m在集合M={x|x＞-1且x≠2k-3，k∈N*}上互為“m函數(shù)”，當(dāng)m時(shí)，m，且m在m上是偶函數(shù)，求函數(shù)m在集合M上的解析式．

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