Question

（2012•即墨市模擬）如圖，把邊長(zhǎng)為40cm的正方形鐵皮的四角邊去邊長(zhǎng)為xcm的四個(gè)相同的正方形，然后折成一個(gè)高度為xcm的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體的盒子，要求長(zhǎng)方體的高度與底面邊長(zhǎng)的比值不超過(guò)常數(shù)k（k＞0），問(wèn)x取何值時(shí)，盒子的容積最大，最大容積是多少？

Answer 1

分析：根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式，易得到V的表達(dá)式V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x 定義域?yàn)?（0，

40k

2k+1

]．對(duì)函數(shù)v進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點(diǎn) x=

40-20 3

3

，分當(dāng)

40-20 3

3

≤

40k

2k+1

和當(dāng)

40-20 3

3

＞

40k

2k+1

，討論函數(shù)v的單調(diào)性，分別求出最大值，從而求解．

解答：解：由題意得，函數(shù)V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x，且 

x＞0 40-2x x 40-2x ≤k

，定義域?yàn)?（0，

40k

2k+1

]．
函數(shù)V的導(dǎo)數(shù) V′（x）=12x²-320x+400，令 V′=0可得，x=

40-20 3

3

，或 x=

40+20 3

3

（舍去）．
當(dāng)

40-20 3

3

≤

40k

2k+1

 時(shí)，導(dǎo)數(shù) V′在x=

40-20 3

3

的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，故當(dāng)x=

40-20 3

3

時(shí)，
函數(shù)V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x 取得最大值，且最大值為V（

40-20 3

3

）．
當(dāng)

40-20 3

3

＞

40k

2k+1

時(shí)，由于當(dāng) 0＜x＜

40-20 3

3

時(shí)，V′（x）＞0，函數(shù)V（x）在（0，

40k

2k+1

]是增函數(shù)，
故當(dāng)x=

40k

2k+1

時(shí)，函數(shù)V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x 取得最大值，且最大值為V（

40k

2k+1

）．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道應(yīng)用題，主要還是考查導(dǎo)數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)要精確，屬于難題．