Question

設(shè)x，y∈R，i，j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj，|a|+|b|=4．
（I）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（II）過點(diǎn)（0，m）作直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若||=|-|，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將兩向量的模用坐標(biāo)表示出來，探究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離和為4，符合橢圓的定義．用定義法寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
（2）由||=|-知以，為鄰邊的四邊形是矩形．故可得∵，將此關(guān)系轉(zhuǎn)移成用坐標(biāo)表示的方程，將此方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于m的不等式，即可解出m的取值范圍．
解答：解：（I）∵a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj
又|a|+|b|=4
∴
∴點(diǎn)M（x，y）的軌跡C是以（-1，0）、（1，0）為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，故橢圓方程為（5分）
（II）若||=|-|，，則以，為鄰邊的平行四邊形是矩形
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，l與C的交點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∵∴x₁x₂+y₁y₂=0    （*）
由
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
∵
y₁y₂=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
∴
將①②代入（*）得7m²-12-12k²=0
∵12k²=7m²-12，k²≥0
∴7m²-12≥0
∴
又△＞0，得12k²-3m²+9＞0
∴7m²-12-3m²+9＞0
∴

∴（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量與圓錐曲線相接合的題，其特征一般是用向量的方法來給出題設(shè)條件，然后再利用圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)來時(shí)行計(jì)算，此類題一般運(yùn)算量較大，符號(hào)運(yùn)算對(duì)，題目難度較大．