Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（底面三角形ABC是正三角形的直棱柱）中，點(diǎn)D，E分別是BC，B₁C₁的中點(diǎn)，BC₁∩B₁D=F，BC=

2

BB1．求證：
（1）平面A₁EC∥平面AB₁D；
（2）平面A₁BC₁⊥平面AB₁D．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)D，E分別是BC，B₁C₁的中點(diǎn)，知A₁E∥AD，EC∥B₁D，由此能證明平面A₁EC∥平面AB₁D．
（2）由△ABC是正三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，知AD⊥BC，由平面ABC⊥平面BCC₁B₁，知AD⊥BC₁，由此能夠證明平面A₁BC₁⊥平面AB₁D．

解答：證明：（1）∵點(diǎn)D，E分別是BC，B₁C₁的中點(diǎn)，
∴A₁E∥AD，EC∥B₁D，
∴A₁E∥平面AB₁D，
又∵A₁E∩EC=E，∴平面A₁EC∥平面AB₁D．
（2）∵△ABC是正三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC₁，
又∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BC=

2

BB1，
∴BD=

2

2

BB1，BB1=

2

2

B1C1，
∴

BD

BB1

=

BB1

B1C1

，∴△BDB₁∽△B₁BC₁，
故∠BDB₁=∠B₁BC₁，即∠BDF=∠B₁BF，
∴∠BDF+∠DBF=∠B1BF+∠DBF=900，∠BFD=90°，
∴BF⊥B₁D，即BC₁⊥B₁D，從而BC₁⊥平面AB₁D．
又BC₁?平面A₁BC₁，所以平面A₁BC₁⊥平面AB₁D．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．