Question

設函數(shù)f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）設F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調性；
（3）斜率為k的直線與曲線y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據極值與最值的求解方法，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間（a，b）內只有一個極值，那么極小值就是最小值；
（2）先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)Fˊ（x），討論a在函數(shù)的定義域內解不等式Fˊ（x）＞0和Fˊ（x）＜0即可求得；
（3）要證，即證，等價于證，令，
則只要證，由t＞1知lnt＞0，故等價于證lnt＜t-1＜tlnt（t＞1）即可．
解答：（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．（2分）
∵當時，f'（x）＜0；當時，f'（x）＞0，（3分）
∴當時，．（4分）
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），．（5分）
①當a≥0時，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；（6分）
②當a＜0時，
令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得；（7分）
令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得．（8分）
綜上，當a≥0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＜0時，F(xiàn)（x）在上單調遞增，在上單調遞減．（9分）
（3）證：．
要證，即證，等價于證，令，
則只要證，由t＞1知lnt＞0，故等價于證lnt＜t-1＜tlnt（t＞1）（*）．
①設g（t）=t-1-lnt（t≥1），則，故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當t＞1時，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，即t-1＞lnt（t＞1）．
②設h（t）=tlnt-（t-1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當t＞1時，h（t）=tlnt-（t-1）＞h（1）=0，即t-1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得證．（14分）
點評：本題中對函數(shù)單調性的分類討論、構造函數(shù)利用導數(shù)方法證明不等式都是難點，對綜合能力的考查達到了相當?shù)母叨龋?