Question

給出下列四個命題：
①“向量a，b的夾角為銳角”的充要條件是“a•b＞0”；
②如果f（x）=lgx，則對任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

；
③將4個不同的小球全部放入3個不同的盒子，使得每個盒子至少放入1個球，共有72種不同的放法；
④記函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x），要得到y(tǒng)=f^-1（1-x）的圖象，可以先將y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x做對稱變換，再將所得的圖象關(guān)于y軸做對稱變換，再將所得的圖象沿x軸向左平移1個單位，即得到y(tǒng)=f^-1（1-x）的圖象．
其中真命題的序號是

②

．（請寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：對于①：“向量a，b的夾角為銳角”的充要條件是“a•b＞0，且cos＜a，b＞≠1；
對于②：函數(shù)f（x）=lgx為上凸函數(shù)，故為真命題；
對于③：將4個不同的小球全部放入3個不同的盒子，使得每個盒子至少放入1個球，共有C₄²A₃³=36種不同的放法，故為假命題；
對于④：記函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x），要得到y(tǒng)=f^-1（1-x）的圖象，可以先將y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x做對稱變換，再將所得的圖象關(guān)于y軸做對稱變換，再將所得的圖象沿x軸向右平移1個單位，即得到y(tǒng)=f^-1[-（x-1）]=f^-1（1-x）的圖象，∴④為假命題．
綜上，只有②是真命題．

解答：解：∵“向量a，b的夾角為銳角”的充要條件是“a•b＞0，且cos＜a，b＞≠1”，∴①為假命題；
∵函數(shù)f（x）=lgx為上凸函數(shù)，∴對任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，∴②為真命題；
∵將4個不同的小球全部放入3個不同的盒子，使得每個盒子至少放入1個球，共有C₄²A₃³=36種不同的放法，
∴③為假命題；
∵記函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x），要得到y(tǒng)=f^-1（1-x）的圖象，可以先將y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x做對稱變換，再將所得的圖象關(guān)于y軸做對稱變換，再將所得的圖象沿x軸向右平移1個單位，即得到y(tǒng)=f^-1[-（x-1）]=f^-1（1-x）的圖象，故為假命題．

點評：本題的考點是命題的真假判斷與應(yīng)用，主要考查命題真假判斷，涉及向量知識、函數(shù)知識、排列組合知識及圖象的變換，綜合性強．