Question

在直三棱柱ABC－，∠BAC＝90°，AB＝B＝1，直線C與平面ABC成30°的角．(如圖所示)

(1)求點到平面AC的距離；

(2)求二面角B－C－A的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)∵ABC－是直三棱柱，∴∥AC，AC平面AC，∴∥平面AC，于是到平面AC的距離等于點到平面AC的距離，作M⊥A于M．由AC⊥平面A得平面AC⊥平面A，∴M⊥平面AC，M的長是到平面AC的距離． 　　∵AB＝B＝1，⊥CB＝30°，∴C＝2，BC＝，A＝，M＝＝．即到平面AC的距離為； 　　(2)作AN⊥BC于N，則AN⊥平面BC，作NQ⊥C于Q，則AQ⊥C，∴∠AQN是所求二面角的平面角，AN＝＝，AQ＝＝1．∴sin∠AQN＝＝，cos∠AQN＝． 　　說明：利用異面直線上兩點間的距離公式，也可以求二面角的大小，如圖，AB＝B＝1，∴A＝，又∠CB＝30°， 　　∴BC＝，C＝2，AC＝．作AM⊥C于M，BN⊥C于N，則AM＝1，BN＝， 　　CN＝，CM＝1，∴MN＝．∵BN⊥C，AM⊥C，∴BN與AM所成的角等于二面角B－C－A的平面角．設(shè)為．由AB2＝AM2＋BN2＋MN2－2AM×BN×cos得cos＝＝．