Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x-2，設(shè)滿足“當(dāng)0＜x＜

1

2

時，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立”的實(shí)數(shù)a的集合為A，滿足“當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-ax是單調(diào)函數(shù)”的實(shí)數(shù)a的集合為B，求A∩C_RB（R為實(shí)數(shù)集）．

Answer 1

分析：由題意可得x²-x+1＜a恒成立，而0＜x＜

1

2

時，

3

4

＜x2-x+1＜1，從而可求a的范圍即可求A；由g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知

1-a

2

≤-2或

1-a

2

≥2，從而可求B，進(jìn)而可求A∩C_RB

解答：解：∵不等式f（x）+3=x²+x-2+3＜2x+a恒成立，即x²-x+1＜a恒成立
當(dāng)0＜x＜

1

2

時，

3

4

＜x2-x+1＜1，
又(x-

1

2

)2+

3

4

＜a恒成立
∴a≥1
故A={a|a≥1}…（5分）
∵g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2
又∵g（x）在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，
故有

1-a

2

≤-2或

1-a

2

≥2
∴a≤-3或a≥5
∴B={a|a≤-3，或a≥5}…（10分）
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了由二次函數(shù)的恒成立求解參數(shù)的范圍，二次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，集合之間的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)試題