Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）說(shuō)出函數(shù)f（x）式由函數(shù)y=cosx經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，利用周期公式即可得解．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．
（3）由x的范圍以及函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）把函數(shù)y=cosx的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，可得y=cos（x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把所得圖象的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$倍，可得y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把所得圖象向上平移一個(gè)單位，可得函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1 的圖象．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴當(dāng)x=0時(shí)，即2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1取得最大值$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，即2x+$\frac{π}{3}$=π時(shí)，f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1取得最小值0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，兩角差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．