Question

在直角坐標(biāo)系中，如果兩點(diǎn)A（a，b），B（-a，-b）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，那么稱[A，B]為函數(shù)f（x）的一組關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)（[A，B]與[B，A]看作一組）．函數(shù)g（x）=

sin π 2 x，  x＜0 log4(x+1)，x＞0

關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的組數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由[A，B]為函數(shù)f（x）的一組關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的定義，轉(zhuǎn)化為方程的解，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作圖得到答案．

解答：解：∵函數(shù)g（x）=

sin π 2 x，  x＜0 log4(x+1)，x＞0

，
∴函數(shù)g（x）關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)A，B會(huì)分別在g（x）=sin

π

2

x與g（x）=log₄（x+1）上，
不妨設(shè)A（a，b）（a＞0）滿足g（x）=log₄（x+1），即log₄（a+1）=b，
則sin

π

2

（-a）=-sin

π

2

a=-b，即sin

π

2

a=b，
則a是方程sin

π

2

x=log₄（x+1）在（0，+∞）上的解，
即函數(shù)y=sin

π

2

x與函數(shù)y=log₄（x+1）在（0，+∞）上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
函數(shù)y=sin

π

2

x與函數(shù)y=log₄（x+1）圖象如下：

由圖可知只有一個(gè)交點(diǎn)在（0，+∞）上．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受能力與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．