已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，直線y=x截拋物線C所得弦|ON|=4
2
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線過(guò)點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)M，且
MA
=a
AF
，
MB
=b
BF
，對(duì)任意的直線l，a+b是否為定值？若是，求出a+b的值；否則，說(shuō)明理由．
（1）由
y=x
x2=2py
，解得O（0，0），N（2p，2p）
∵|ON|=4
2

∴4p2+4p2=32
∴p=2
∴拋物線C的方程為x2=4y；
（2）顯然直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y=kx+1，l與x軸交于M（-
1
k
，0）
設(shè)l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）
直線與拋物線聯(lián)立，消元可得x2-4kx-4=0
∴x1+x2=4k，x1x2=-4
由
MA
=a
AF
，得（x1+
1
k
，y1）=a（-x1，1-y1），即a=-
kx1+1
kx1

同理b=-
kx2+1
kx2

∴a+b=-（2+
x2+x1
kx1x2
）=-1
∴對(duì)任意的直線l，a+b為定值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的方程為y=x2，過(guò)（0，1）點(diǎn)的直線l與C相交于點(diǎn)A，B，證明：OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•浙江模擬）已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0），直線：x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線的右側(cè)．
（Ⅰ）求證：直線與拋物線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)A（1，0），若直線與拋物線C的交點(diǎn)為Q，R，滿足
AQ
•
AR
=0，是否存在實(shí)數(shù)m，使得原點(diǎn)O到直線的距離不大于
2
4
，若存在，求出正實(shí)數(shù)p的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•合肥三模）已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），過(guò)拋物線上點(diǎn)M（-2
p
，p）作△MAB，A、B兩均在拋物線上．過(guò)M作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)N．
（I）若MN平分∠AMB，求證：直線AB的斜率為定值；
（II）若直線AB的斜率為
p
，且點(diǎn)N到直線MA，MB的距離的和為4p，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），焦點(diǎn)F為 （0，1），點(diǎn)P（x1，y1）是拋物線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的切線交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)A（s，t）．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若x1∈[1，4]，求s的取值范圍．
（3）過(guò)點(diǎn)A作拋物線C的另一條切線AQ，其中Q（x2，y2）為切點(diǎn)，試問(wèn)直線PQ是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0且p為常數(shù)），過(guò)焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）
①求證：4x1x2=p2
②若拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于N點(diǎn)且AB⊥AN，求|x1-x2|

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