Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，求在區(qū)間上的最大值；

（III）設(shè)函數(shù)，（），試討論函數(shù)與圖象交點的個數(shù)

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∵，其定義域為．                 1分

∴．                   （2分）

∵，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．         （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，的最大值；

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，也即該函數(shù)在上的最大值，此時的最大值；

∴在區(qū)間上的最大值…………………（8分）

（Ⅲ）討論函數(shù)與圖象交點的個數(shù)，即討論方程在上根的個數(shù)．

該方程為，即．

只需討論方程在上根的個數(shù)， ……………………（9分）

令，．

因，，令，得，

當(dāng)時,；當(dāng)時,．  ∴，

當(dāng)時,； 當(dāng)時,， 但此時，且以軸為漸近線．

如圖構(gòu)造的圖象，并作出函數(shù)的圖象．

①當(dāng)即時，方程無根，沒有公共點；

②當(dāng)即時，方程只有一個根，有一個公共點；

③當(dāng)即時，方程有兩個根，有兩個公共點．

【解析】(I)直接求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求其增減區(qū)間即可.

（II）在第（I）問的基礎(chǔ)上對a進行討論求極值，最值.

（III）可以構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究其圖像特征，作出草圖，然后數(shù)形結(jié)合求解.