Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2，由此即可得到參數(shù)m的方程，求出參數(shù)的值．
（2）由（1）知f（x）=x+

1

x

，故利用函數(shù)的奇偶性定義判斷其奇偶性即可．
（3）本題做題格式是先判斷出單調(diào)性，再進(jìn)行證明，證明函數(shù)的單調(diào)性一般用定義法證明或者用導(dǎo)數(shù)證明，本題采取用定義法證明其單調(diào)性．

解答：解：（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．
（2）f（x）=x+

1

x

，f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）=

1

x

+x在（1，+∞）上為增函數(shù)，證明如下
設(shè)x₁、x₂是（1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=x₁-x₂+（

1

x1

-

1

x2

）
=x₁-x₂-

x1-x2

x1x2

=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

．
當(dāng)1＜x₁＜x₂時(shí)，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，從而f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）=

1

x

+x在（1，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，主要考查用函數(shù)單調(diào)性的定義來證明函數(shù)單調(diào)性的能力，本題中函數(shù)解析式是一個(gè)分工，在證明時(shí)要注意靈活選用方法進(jìn)行變形，方便判號(hào)，定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是：取值、作差變形、定號(hào)、判斷結(jié)論．