Question

已知函數(shù)y=x+有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，]上是減函數(shù)，在[，+∞）上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+（x＞0）的值域?yàn)閇6，+∞），求b的值；
（2）研究函數(shù)y=x²+（常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；
（3）對函數(shù)y=x+和y=x²+（常數(shù)a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明）．

Answer 1

解：（1）由函數(shù)y=x+性質(zhì)知：
當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y=x+（x＞0）的最小值是2，則2=6，
解得b=log₂9．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，
則y₂-y₁==．
當(dāng)＜x₁＜x₂時(shí)，y₂＞y₁，函數(shù)y=在[，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x₁＜x₂＜時(shí)，y₂＜y₁，函數(shù)y=在（0，]上是減函數(shù)．
又y=是偶函數(shù)，
所以該函數(shù)在（-∞，-]上是減函數(shù)，在[-，0）上是增函數(shù)；
（3）可以把函數(shù)推廣為y=（常數(shù)a＞0），其中n是正整數(shù)．
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，函數(shù)y=在（0，]上是減函數(shù)，在[，+∞）上是增函數(shù)，
在（-∞，-]上是增函數(shù)，在[-，0）上是減函數(shù)；
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，函數(shù)y=在（0，]上是減函數(shù)，在[，+∞） 上是增函數(shù)，
在（-∞，-]上是減函數(shù)，在[-，0）上是增函數(shù)．
分析：（1）由函數(shù)y=x+性質(zhì)可得y=x+的最小值，令其為6，解出可得b值；
（2）利用定義進(jìn)行判斷：先研究函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，設(shè)0＜x₁＜x₂，通過作差判斷y₂與y₁的大小，由單調(diào)性的定義即可作出判斷，再由偶函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在（-∞，0）的單調(diào)性；
（3）可以把函數(shù)推廣為y=（常數(shù)a＞0），其中n是正整數(shù)，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)類比y=x+的情形，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)類比y=的情形，即可得到結(jié)論；
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷、證明及歸納推理，定義是判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，要熟練掌握．