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已知函數,其中a>0.設它們的圖象有公共點,且在該點處的切線相同.
(1)試用a表示b;
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的極值;
(3)求b的最大值.
【答案】分析:(1)設公共點的坐標,求導函數,利用在該點處的切線相同,即可用a表示b;
(2)求導函數,確定F(x)的單調性,從而可求函數的極值;
(3)由(1)知,令h(t)=(t>0),求導數,確定函數的單調性,從而可得b的最大值
解答:解:(1)設公共點的坐標為(x,y),
求導函數,則f(x)=g(x),f′(x)=g′(x
,
∴x=a或x=-3a(舍去)
∴b=
(2)F(x)=f(x)-g(x)=
∴F′(x)=
∴F(x)在(0,a)上為減函數,在(a,+∞)上為增函數
∴x=a時,F(x)有極小值0,無極大值;
(3)由(1)知,令h(t)=(t>0),則h′(t)=2t(1-3lnt)
當t(1-3lnt)>0,即0<t<時,h′(t)>0;當t(1-3lnt)<0,即t>時,h′(t)<0,
∴h(t)在(0,)上為增函數,在(,+∞)上為減函數
∴h(t)在(0,+∞)上的最大值即為最大值h()=
即b的最大值為
點評:本題考查導數知識的運用,考查導數的幾何意義,考查函數的極值與最值,正確求導,確定函數的單調性是關鍵.
練習冊系列答案
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