Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）時，則下列結(jié)論正確的是

（1）（2）（3）

（1）?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立
（2）?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有兩個不等實數(shù)根
（3）?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
（4）?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次分析命題：將-x代替x求出f（-x），判斷出（1）對；通過分離參數(shù)，判斷出f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性及值域判斷出（2）對；通過對（1）（2）的推導(dǎo)過程得到f（x）在R上單調(diào)，判斷出（3）對，通過另g（x）=0，分離出k，求出k的范圍，判斷出（4）錯；即可得答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

，
∴f（-x）+f（x）=

-x

1+|-x|

+

x

1+|x|

=

-x

1+|x|

+

x

1+|x|

=0恒成立，故（1）正確；
∵函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）的在R上單調(diào)遞增，且值域為（-1，1）
∴函數(shù)y=|f（x）|在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且值域為[0，1）
∴?m∈（0，1），方程|f（x）|=m均有兩個不等實數(shù)根，故（2）正確；
由（1）知f（x）是奇函數(shù)，由（2）的推導(dǎo)知，f（x）在R上單調(diào)遞增，所以?x₁，x₂，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），故（3）對．
令g（x）=0即f（x）-kx=0即k=

x

1+|x|

≤1，所以當(dāng)k∈（1，+?），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上無零點，故（4）錯．
故答案為：（1）（2）（3）

點評：本題考查判斷函數(shù)零點的個數(shù)常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、對于含絕對值的函數(shù)的處理方法常利用絕對值的意義去掉絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理．