Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線

x2

3

-

y2

2

=1具有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，且頂點(diǎn)P（0，b）滿足cos∠F1PF2=-

1

9

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過拋物線x²=12y焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若

FA

=λ

FB

，求實(shí)數(shù)λ的范圍．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線

x2

3

-

y2

2

=1的焦點(diǎn)F₁（-

5

，0），F(xiàn)₂（

5

，0），知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點(diǎn)F₁（-

5

，0），F(xiàn)₂（

5

，0），由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+3，聯(lián)立方程組

y=kx+3 x2 9 + y2 4 =1

，得（4+9k²）x²+54kx+45=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

FA

=λ

FB

，知x1+x2=(λ+1)x2=-

54k

4+9k2

，x1x2=λx22=

45

4+9k2

，由此能求出實(shí)數(shù)λ的范圍．

解答：解：（1）∵雙曲線

x2

3

-

y2

2

=1的焦點(diǎn)F₁（-

5

，0），F(xiàn)₂（

5

，0），
∴橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點(diǎn)F₁（-

5

，0），F(xiàn)₂（

5

，0），
∴a²-b²=5．
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的頂點(diǎn)P（0，b）滿足cos∠F1PF2=-

1

9

，
∴

2a2-20

2a2

=-

1

9

，
解得a²=9，
∴b²=4，
故橢圓的方程為：

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+3，
聯(lián)立方程組

y=kx+3 x2 9 + y2 4 =1

，
得（4+9k²）x²+54kx+45=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

FA

=λ

FB

，
∴x1+x2=(λ+1)x2=-

54k

4+9k2

，①
x1x2=λx22=

45

4+9k2

，②
由①得(λ+1)2x22= 

(54k)2

(4+9k2)2

，③
③÷②，得

(λ+1)2

λ

=

36

5

×

9k2

9k2+4

，
∴

(λ+1)2

λ

 ≤

36

5

，
整理，得5λ²-26λ+5≤0，
∴

1

5

≤λ≤5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．