Question

若y=f（x）是定義在R上的函數，且滿足：①f（x）是偶函數；②f（x-1）是奇函數，且當0＜x≤1時，f（x）=lgx，則方程f（x）=2012在區(qū)間（-6，10）內的所有實數根之和為

1. A.
   8
2. B.
   12
3. C.
   16
4. D.
   24

Answer 1

C
分析：由f（x）是偶函數說明函數圖象關于y軸對稱，再由f（x-1）是奇函數說明函數圖象關于點（-1，0）對稱，因此可以證明出函數的周期為4．畫出函數f（x）的圖象，只要找出函數f（x）的圖象與y=2012在區(qū)間（-6，10）內交點的情況，就不難找到f（x）=2012在區(qū)間（-6，10）內的所有實根之和了．
解答：由①知f（-x）=f（x），由②知f（-x-1）=-f（x-1），即函數圖象關于（-1，0）對稱；
由①②得：f（-x-2）=-f（x）=-f（-x）
∴f（x-2）=-f（x），∴f（x-4）=-f（x-2）-f（x）
∴函數f（x）的最小正周期為4
∵當0＜x≤1時，f（x）=lgx，∴函數f（x）在一個周期（-2，2）上的圖象如圖：
由圖象數形結合可知，當x∈（-6，6）時，即三個連續(xù)周期上，方程f（x）=2012有6個關于y軸對稱的根，其和為0
當x∈（6，10）時，方程f（x）=2012有2個關于x=8對稱的根，其和為2×8=16
故方程f（x）=2012在區(qū)間（-6，10）內的所有實數根之和為0+16=16
故選C
點評：本題考查了函數與方程的綜合應用以及函數圖象的對稱性與奇偶性等知識點，充分利用函數的奇偶性與周期性，數形結合是解決本題的關鍵，屬中檔題