Question

【題目】已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為CD的中點．如圖將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）求證：BM⊥平面ADM；
（Ⅱ）若點E是線段DB上的中點，求三棱錐E﹣ABM的體積V1與四棱錐D﹣ABCM的體積V2之比．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為CD的中點，

所以 ，所以AM2+BM2=AB2，所以BM⊥AM．

因為平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，

又BM平面ABCM，且BM⊥AM，

∴BM⊥平面ADM．

（Ⅱ）因為E為DB的中點，所以 ，

又直角三角形ABM的面積 ，

梯形ABCM的面積 ，

所以 ，且 ，

所以 ．

【解析】（Ⅰ）推導出BM⊥AM，BM⊥AM，由此能證明BM⊥平面ADM．（Ⅱ）推導出 ， ，且 ，由此能求出三棱錐E﹣ABM的體積V1與四棱錐D﹣ABCM的體積V2之比．