已知橢圓
x2
16
+
y2
9
=1與x軸交于A、B兩點，焦點為F1、F2．
（1）求以F1、F2為頂點，以A、B為焦點的雙曲線E的方程；
（2）M為雙曲線E上一點，y軸上一點P (0，
16
3
)，求|MP|取最小值時M點的坐標(biāo)．
分析：（1）通過雙曲線方程求出焦點坐標(biāo)與頂點，即可求出以F1、F2為頂點，以A、B為焦點的雙曲線E的方程；
（2）設(shè)出M坐標(biāo)，直接利用兩點間的距離公式求出|MP|的表達式，代入雙曲線方程，直接利用二次函數(shù)求出表達式取得最小值時M點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)
則a2=7   b2=16∴b2=9…（3分）
所求雙曲線方程：
x2
7
-
y2
9
=1…（6分）
（2）設(shè)M（x，y），
|MP|2=x2+(y-
16
3
)2=
7y2
9
+7+(y-
16
3
)2=
16
9
(y-3)2+
175
9
(y∈R)…（9分）
當(dāng)y=3時，|MP|2最小，|MP|最小．
代入方程得，M(±
14
，3)…（12分）
點評：本題是中檔題，考查雙曲線方程的應(yīng)用，雙曲線才的求法，二次函數(shù)最值的求法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1，點P為其上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點，Q為射線F1P延長線上一點，且|PQ|=|PF2|，設(shè)R為F2Q的中點．
（1）當(dāng)P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
（2）設(shè)點R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+4
2
）與曲線C相交于A、B兩點，若∠AOB=90°時，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，則這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是
 
．（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1的左焦點是F1，右焦點是F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|：|PF2|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1的左焦點是F1，右焦點是F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|：|PF2|=（　�。�

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