已知橢圓
x2
16
+
y2
9
=1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1、F2．
（1）求以F1、F2為頂點(diǎn)，以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E的方程；
（2）M為雙曲線(xiàn)E上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)P (0，
16
3
)，求|MP|取最小值時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．
分析：（1）通過(guò)雙曲線(xiàn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與頂點(diǎn)，即可求出以F1、F2為頂點(diǎn)，以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E的方程；
（2）設(shè)出M坐標(biāo)，直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MP|的表達(dá)式，代入雙曲線(xiàn)方程，直接利用二次函數(shù)求出表達(dá)式取得最小值時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)
則a2=7   b2=16∴b2=9…（3分）
所求雙曲線(xiàn)方程：
x2
7
-
y2
9
=1…（6分）
（2）設(shè)M（x，y），
|MP|2=x2+(y-
16
3
)2=
7y2
9
+7+(y-
16
3
)2=
16
9
(y-3)2+
175
9
(y∈R)…（9分）
當(dāng)y=3時(shí)，|MP|2最小，|MP|最�。�
代入方程得，M(±
14
，3)…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查雙曲線(xiàn)方程的應(yīng)用，雙曲線(xiàn)才的求法，二次函數(shù)最值的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1，點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，Q為射線(xiàn)F1P延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且|PQ|=|PF2|，設(shè)R為F2Q的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)R形成的曲線(xiàn)為C，直線(xiàn)l：y=k（x+4
2
）與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，若∠AOB=90°時(shí)，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y=2x2的焦點(diǎn)，且與這條拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過(guò)雙曲線(xiàn)C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線(xiàn)．
其中正確命題的序號(hào)是
 
．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1的左焦點(diǎn)是F1，右焦點(diǎn)是F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|：|PF2|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1的左焦點(diǎn)是F1，右焦點(diǎn)是F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|：|PF2|=（　�。�

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