如圖所示，已知直四棱柱中，，，且滿足

．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

解：（I）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

…………… 2分

    又因為

所以，平面   …………… 6分

   （Ⅱ）設(shè)為平面的一個法向量

   

 得

取，則  ……………… 8分

又，

設(shè)為平面的一個法向量，由，，

得

取取  ………………… 10分

設(shè)與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

，即為所求  ………………… 12分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥DCAB∥DC，且滿足
DC-DD1=2AD=2AB=2．
（1）求證：DB⊥平面B1BCC；
（2）求二面角A1-BD-C1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知直四棱柱中，，，且滿足

（I）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆黑龍江省高二期3月月考數(shù)學(xué)（理）試卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示，已知直四棱柱中，，，且滿足

．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣西自治區(qū)月考題 題型：解答題

如圖所示，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，且滿足 DC﹣DD1=2AD=2AB=2．
（1）求證：DB⊥平面B1BCC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖南省長沙市長郡中學(xué)高二（上）3月模塊考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖所示，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥DCAB∥DC，且滿足
DC-DD1=2AD=2AB=2．
（1）求證：DB⊥平面B1BCC；
（2）求二面角A1-BD-C1的余弦值．

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