Question

已知△ABC是半徑為R的圓內(nèi)接三角形，且2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB
（1）求角C；
（2）試求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦定理，已知等式中的角轉(zhuǎn)換成邊，可得a、b、c的平方關(guān)系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；
（2）根據(jù)正弦定理算出c=

2

R，再由余弦定理c²=a²+b²-2a•bcosC的式子，結(jié)合基本不等式找到邊ab的范圍，利用正弦定理的面積公式加以計(jì)算，即可求出△ABC面積的最大值．

解答：解：（1）∵2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB，
∴根據(jù)正弦定理，得a²-c²=（

2

a-b）b=

2

ab-b²，
可得a²+b²-c²=

2

ab
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2 ab

2ab

=

2

2

，
∵角C為三角形的內(nèi)角，∴角C的大小為

π

4

（2）由（1）得c=2Rsin

π

4

=

2

R
由余弦定理c²=a²+b²-2a•bcosC，可得
2R²=a²+b²-

2

a•b≥2ab-

2

ab=（2-

2

）ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立
∴ab≤

2R2

2- 2

=（2+

2

）R²
∴S_△ABC=

1

2

absinC≤

1

2

•（2+

2

）R²•

2

2

=

1+ 2

2

R²
即△ABC面積的最大值為

1+ 2

2

R²

點(diǎn)評：本題給出三角形的外接圓半徑為R，在已知角的關(guān)系式情況下，求三角形面積最大值．著重考查了三角形的外接圓、正余弦定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．